Решение задач арифметическим способом является сложным для учащихся. Один из параметров сложности - отсутствие понимания процесса классификации. Если вы хотите научиться решать задачи или потренироваться в их решении - РЕШАЙТЕ!
В школьном курсе математики обычно используются два основных способа
решения задач: арифметический и алгебраический. Однако, кроме этих
способов, рассматриваются еще и способ подбора, графический способ
решения, практический способ. В принципе, все эти способы решения имеют
равные права на применение их при решении задач, однако, арифметический и
алгебраический являются наиболее универсальными.
Арифметический способ решения задач состоит в том, чтобы найти
неизвестную величину составлением числовых выражений и
подсчета результата.Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений при решении текстовых задач. Известный американский педагог и математик Д. Пойа в своей книге по проблемам обучения решению задач пишет, что «составить уравнение – значит выразить математическими символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода».
Способ решения задачи при помощи схематического моделирования позволяет получать решение задачи моделированием схемы отношений между данными и искомыми. Схема может выступать как способ решения задачи, так и как форма записи решения задачи.
Решение текстовых задач – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:
1. Ознакомление с содержанием задачи;
2. Поиск решения задачи;
3. Выполнение решения задачи;
4. Проверка решения задачи.
Задачи:
Задача 1.
Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?
Решение.Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.
5:100 или х:98. Получаем пропорцию:
5:100 = х:98.
х=(5·98):100;
х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Задача 2.
Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?
Решение.
Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:
16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:
16,8:21=х:35.
Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7. Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).
Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.
Задача 3.
После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение.
Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:
х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:
х:100 = 9:18.
Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.Ответ: площадь всего поля 50 га.
Задача 4.
Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:
1) 100% - 40% = 60%
Второе снижение происходит от новой цены:
2) 60% . 25% : 100 = 15%
Таким образом, общее снижение цены товара равно:
3) 40% + 15% = 55%
Цена товара после второго снижения стала равной:
4) 100% - 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.
5) 3000 . 45 : 100 = 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.
Задача 5.
Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?
Решение:
1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;
2) Второе откусывание происходит от остатка.
80% . 20 : 100 =16% – откусили во второй раз
3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;
4) Т.к 64% равны160 г, имеем
160 . 100 : 64 = 250 (г) – первоначальная масса пирожка
Ответ: 250г, нет
Задача 6.
В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.
Определите:
1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?
Решение:
1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% – батон в магазине:
9 : 10 . 100= 90%
100%-90%=10% – продается дешевле с лотка
2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
10 : 9 . 100= 111,1%
111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине
Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.
Задача 7.
На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.
1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.
2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;
3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
1 . 100 : 2 = 50(кг)
Ответ: 50 кг
Задача 8 .
Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение:
1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;
17 . 10 : 100 = 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
1б7 . 100 : 85 =2(кг) – сушеных грибов
2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
3,4 . 85 : 100 = 2,89 (кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
2,89 . 100 : 10 =28,9 (кг)- свежих грибов надо взять
Ответ: 2 кг, 28,9 кг
Задача 9 .
В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?
Решение:
1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)
2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
80 : 480 . 100 = 16,7%
Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.
Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:
1) 100% - 40% = 60%
Второе снижение происходит от новой цены:
2) 60% . 25% : 100 = 15%
Таким образом, общее снижение цены товара равно:
3) 40% + 15% = 55%
Цена товара после второго снижения стала равной:
4) 100% - 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.
5) 3000 . 45 : 100 = 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.
Задача 5.
Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?
Решение:
1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;
2) Второе откусывание происходит от остатка.
80% . 20 : 100 =16% – откусили во второй раз
3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;
4) Т.к 64% равны160 г, имеем
160 . 100 : 64 = 250 (г) – первоначальная масса пирожка
Ответ: 250г, нет
Задача 6.
В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.
Определите:
1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?
Решение:
1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% – батон в магазине:
9 : 10 . 100= 90%
100%-90%=10% – продается дешевле с лотка
2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
10 : 9 . 100= 111,1%
111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине
Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.
Задача 7.
На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.
1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.
2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;
3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
1 . 100 : 2 = 50(кг)
Ответ: 50 кг
Задача 8 .
Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение:
1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;
17 . 10 : 100 = 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
1б7 . 100 : 85 =2(кг) – сушеных грибов
2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
3,4 . 85 : 100 = 2,89 (кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
2,89 . 100 : 10 =28,9 (кг)- свежих грибов надо взять
Ответ: 2 кг, 28,9 кг
Задача 9 .
В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?
Решение:
1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)
2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
80 : 480 . 100 = 16,7%
Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.
Комментариев нет:
Отправить комментарий